Question

a+b+c=2,1/a+1/b+1/c=1/2,求（a-2）（b-2）（c-2）的值

Answer 1

解:因为1/a+1/b+1/c=1/2
所以a,b,c不为0,所以abc不为0
所以1/a+1/b+1/c=a+b+c/abc=1/2
因为a+b+c=2
所以abc=4,ab=4/c,ac=4/b,bc=4/a
(a-2)(b-2)(c-2)
=(ab-2a-2b+4)(c-2)
=abc-2ac-2bc+4c-2ab+4a+4b-8
=abc-2(ac+bc+ab)+4(a+b+c)-8
=abc-2(4/b+4/a+4/c)+4(a+b+c)-8
=abc-8(1/a+1/b+1/c)+4(a+b+c)-8
代入abc=4,1/a+1/b+1/c=1/2,a+b+c=2
得原式=4-4+8-8=0

Answer 2

结果等于0.
a+b+c=2,1/a+1/b+1/c=1/2，则1/a+1/b+1/c=1/a+b+c，通分、合并得到：（bc+ac+ab)/abc=1/(a+b+c).那么有：abc=（a+b+c）（bc+ac+ab），拆开得到：aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)+2abc=0.
有a+b+c=2，那么（a-2）（b-2）（c-2）=-（a+b）（b+c）（a+c）=-[aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)+2abc]=-0=0

Answer 3

由1/a+1/b+1/c=0.5得
2(ab+bc+ac)=abc,
(a-2)(b-2)(c-2)=abc+4(a+b+c)-2(ab+bc+ac)-8,
综合以上两个式子以及a+b+c=2
得需要求的式子等于：
4(a+b+c)-8=4*2-8=0