Question

（2014?上饶一模）如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA

Answer 1

（1）延长B1E交BC于F，
∵△B1EC1∽△FEB，BE=
1
2
EC1
∴BF=
1
2
B1C1=
1
2
BC，从而F为BC的中点．
（2分）
∵G为△ABC的重心，
∴A、G、F三点共线，且=
FG
FA
＝
FE
FB1
＝
1
3
，
∴GE∥AB1，
又GE?侧面AA1B1B，AB1?侧面AA1B1B，
∴GE∥侧面AA1B1B
（4分）
（2）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，
∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，
∴B1H⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，
∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=
3
（6分）
在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T．由三垂线定理有B1T⊥AF，又平面B1GE与底面ABC的交线为AF，
∴∠B1TH为所求二面角的平面角（8分）
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，
∴HT=AHsin30°=
3
2
，
在Rt△B1HT中，tan∠B1TH=
B1H
HT
＝
2
3
3
（10分）
从而平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan
2
3
3
（12分）．