Question

A是n阶实对称矩阵,证明A是正定矩阵的充分必要条件是A的特征值都大于0

Answer 1

证:
a是n阶实对称矩阵,
则存在正交矩阵p,
p'=p^-1
满足:
p'ap
=
diag(a1,a2,...,an).
其中a1,a2,...,an是a的全部特征值
则a对应的二次型为:
f
=
x'ax
令
x=py
得
f
=
y'p'
apy
=
y'diag(a1,a2,...,an)y
=
a1y1^2+...+any^n
所以
a正定
<=>
f
正定
<=>
ai>0.
即
a是正定矩阵的充分必要条件是a的特征值都大于0.
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Answer 2

根据特征值的定义
Ap=x0p
特征值表示矩阵A与x0对于向量p具有相同的作用，同时在判断正定性时，考虑各阶顺序主子式，所以这充要条件就比较显然了。