Question

证明两整数a,b互质的充要条件是：存在两个整数s,t满足as+bt=1

Answer 1

证明：1)充分性：因为as+bt=1,设c=(a,b),则c整除a和b,所以c整除as+bt,即c整除1,所以c=1,即a和b互质
2)必要性：因为a和b互质，所以(a,b)=1。
考虑非空集合A={as+bt│s,t为任意整数},不妨设a0是A中最小正整数且a0=as0+bt0,y是A中任意一个元素，由带余除法 y=as+bt=q(as0+bt0)+r,0<=r<a0,则r=a(s-qs0)+b(t-qt0)属于A，若r非零则r是A中比a0更小之正整数，矛盾，所以r=0,从而a0整除y,特别地有a0整除a,a0整除b,所以a0整除(a,b)=1,因此a0=1,所以存在整数s0和t0使得as0+bt0=1
证毕。