Question

已知a b c属于R+ 且a+b+c=1,求证：（1/a-1)(1/b-b)(1/c-c)>=8

Answer 1

（1/a-1)(1/b-b)(1/c-c)=[（a+b+c)/a-1][(a+b+c)/b-1][(a+b+c)/c-1] （代入a+b+c=1）
=(a+b)(b+c)(c+a)/abc（1）
因为a b c属于R+ 所有有下列三个不等式成立：
(a+b)≥2√(ab) (2) 等号当且仅当a=b成立
(b+c)≥2√(bc) (3) 等号当且仅当b=c成立
(c+a)≥2√(ca) (4) 等号当且仅当a=c成立
(2)(3)(4)相乘得：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc （等号当且仅当a=b=c成立）
即 (a+b)(b+c)(c+a)/abc≥8 带入（1）
得（1/a-1)(1/b-b)(1/c-c)≥8 （等号当且仅当a=b=c=1/3成立）