Question

一道初中奥数题（数论）

任意十个连续的自然数，求证其中至少有一个与其余九个互质。

Answer 1

设这个连续的十个自然数列为:K=(a,a+1,a+2。。。。。。a+9)！

设：
a>11,且能被自然数x整除.

那么K/x=[a/x,(a+1)/x,(a+2)/x.......(a+9)/x]
=a/x,(a/x+1/x),(a/x+2/x)......(a/x+9/x)

∵a被x整除，显然x为任何数，K/x都出现非整数。
∴K存在质数。

∵a>11
∴K中的质数在十个连续自然数内不可能出现自身的倍数。
即K中的质数必与其他九个数互质。

设：
a<=11
7和11是质数，命题显然成立。

若a不能被x整除，则证明a自身为质数，命题依然成立！
∴任意十个连续的自然数中，至少有一个与其余九个互质！

Answer 2

设这个连续的十个自然数列为:K=(a,a+1,a+2。。。。。。a+9)！
设：
a>11,且能被自然数x整除.
那么K/x=[a/x,(a+1)/x,(a+2)/x.......(a+9)/x]
=a/x,(a/x+1/x),(a/x+2/x)......(a/x+9/x)
∵a被x整除，显然x为任何数，K/x都出现非整数。
∴K存在质数。
∵a>11
∴K中的质数在十个连续自然数内不可能出现自身的倍数。
即K中的质数必与其他九个数互质。
设：
a<=11
7和11是质数，命题显然成立。
若a不能被x整除，则证明a自身为质数，命题依然成立！
∴任意十个连续的自然数中，至少有一个与其余九个互质！

Answer 3

设这个连续的十个自然数列为:K=(a,a+1,a+2。。。。。。a+9)！
设：
a>11,且能被自然数x整除.
那么K/x=[a/x,(a+1)/x,(a+2)/x.......(a+9)/x]
=a/x,(a/x+1/x),(a/x+2/x)......(a/x+9/x)
∵a被x整除，显然x为任何数，K/x都出现非整数。
∴K存在质数。
∵a>11
∴K中的质数在十个连续自然数内不可能出现自身的倍数。
即K中的质数必与其他九个数互质。
设：
a<=11
7和11是质数，命题显然成立。
若a不能被x整除，则证明a自身为质数，命题依然成立！
∴任意十个连续的自然数中，至少有一个与其余九个互质！

Answer 4

10/3=3...1.9=3*3连续十个自然数,是三的倍数有三个或四个,所以与九互质的有六个或七个.

Answer 5

证明： 如果十个自然数中存在质数 显然
如果不存在质数 对于大于10的十个连续的自然数来说必然相互互质 （因为每个自然数的倍数距离它本身的距离必定大于10）
而1 2 3 4 5 6 7 8 9 10中有质数 所以互质
那么主要考虑跨过10的10个连续自然数 而跨过10的10个连续自然数中必然包含质数
得证