Question

f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f[g(x)]是什么函数？

原题如上，但是我自己又改了一下条件，
1。f(x)是普通函数
2。f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,则f[g(x)]是什么函数？
给出详细推导过程,谢谢解答

Answer 1

都是偶函数

若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数

则f[g(-x)]=f[g(x)]

所以f[g(x)]是偶函数

若f(x)是偶函数,g(x)是奇函数

则f[g(-x)]=f[-g(x)]=f[g(x)]

所以f[g(x)]是偶函数

性质

1. 两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

2. 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3. 两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4. 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

Answer 2

(1)
h(x)=f[g(x)]
h(-x)=f[g(-x)]
g(x)是偶函数
所以=f[g(x)]=h(x)
所以，只要他的定义域关于原点对称
就是偶函数
所以不论f(x)是什么函数
如果他的定义域关于原点对称，f[g(x)]是偶函数
否则是非奇非偶函数

(2)
假设定义域关于原点对称
h(x)=f[g(x)]
h(-x)=f[g(-x)]
(x)是奇函数
=f[-g(x)]
f(x)是偶函数
=f[g(x)]=h(x)
所以是偶函数

Answer 3

都是偶函数

若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数

则f[g(-x)]=f[g(x)]
所以f[g(x)]是偶函数

若f(x)是偶函数,g(x)是奇函数

则f[g(-x)]=f[-g(x)]=f[g(x)]
所以f[g(x)]是偶函数

Answer 4

f(x)是奇函数,g(x)是偶函数
f[g(-x)]=f[g(x)]为偶函数

1。f(x)是普通函数
f[g(-x)]不能判断

2。f(x)是偶函数,g(x)是奇函数
f[g(-x)]=f[-g(x)]=f[g(x)]为偶函数

Answer 5

偶函数

f[g(-x)]=f[-g(x)]=f[g(x)]