Question

一道高中数学题，不等式证明

已知 a>b>c ,a+b+c=1 , a^2 +b^2 +c^2=3 ,求证b+c<1/2

做了很久，吃不消做了，请高手帮个忙
前四位好像错了吧，最后一步方程解出来不是 -2/3<b+c<2 吗

Answer 1

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
1=3+2(ab+bc+ca)
-2=2(ab+bc+ca)
-1=ab+bc+ca=(a+b)(1-a-b)+ab
(a+b)^2-(a+b)-1=ab<(a+b)^2/4
3(a+b)^2/4-(a+b)-1<0
-2/3<a+b<1/2

设x=b+c，y=b-c，
则a=1-x>b=(x+y)/2
0<b-c=y<2-3x
x<2/3

a²+b²+c²=(1-x)²+[(x+y)/2]²+[(x-y)/2]²=3
展开，化简得
0<4-3x²+4x=y²<(2-3x)²
-2/3<x<2 及(x<0 或x>4/3)

因为x<2/3，所以-2/3<x<0<0.5

Answer 2

要求b+c的范围，只须求a的范围。
因为b>c
所以b^2+c^2>(b+c)^2/2
将a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=3带入
得3-a^2>(1-a)^2/2
解出来a的范围后
b+c=1-a=.......
自己算啦

Answer 3

首先由条件可以得
ab+bc+ac=[(a+b+c)^2-（a^2+b^2+c^2）]/2=-1
把a=1-b-c代入得
（1-b-c）(b+c)+bc=-1
注意到4bc≤(b+c)^2而b>c所以等号取不到得
-1<（1-b-c）(b+c)+[(b+c)^2]/4令t=b+c
则
-1<(1-t)t+t^2/4
整理得
3t^2-4t-4<0解得
-2/3<t<1/2
即有b+c<1/2

Answer 4

解：最简便的方法.
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
1=3+2(ab+bc+ca)
-2=2(ab+bc+ca)
-1=ab+bc+ca=(b+c)(1-b-c)+bc
(b+c)^2-(b+c)-1=bc≤(b+c)^2/4
3(b+c)^2/4-(b+c)-1<0

所以-2/3<b+c<1/2