Question

初二数学一道证明题（有图）

梯形ABCD中，AB‖CD，且AB=2CD，E,F分别是AB,BC的中点，EF与BD相交于点M
若DB=9，求BM的长

Answer 1

∵AB=2CD，E是AB的中点，
∴AE=BE=CD
又∵AB‖CD
∴四边形BCDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴DE=BC（平行四边形对应边相等）
∵F是BC的中点
∴FB=DE/2
∵四边形BCDE是平行四边形
∴AE‖BC（平行四边形对应边平行）
∴△DEM和△BFM相似（平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似）
∴DM：BM=DE：BF=2：1（相似三角形三边对应成比例）
∵BM+DM=BD,BD=9
∴BM=BD/3=3

解后反思：
本题是利用相似三角形来求值的题目，关键是确定要证明哪两个三角形相似，从而建立起已知待求之间的关系。
证明两三角形相似我们通常有以下5种方法：
（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（3）判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似；
（4）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；
（5）判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。

Answer 2

AB=2CD，E是AB的中点，
所以AE=BE=CD
又因为AB‖CD
所以四边形BCDE是平行四边形
所以DE=BC
因为F是BC的中点
所以FB=DE/2
而△DEM和△BFM相似
所以DM：BM=DE：BF=2：1
DM=BD-BM=9-BM
所以（9-BM）：BM=2：1
（9-BM）/BM=2
9-BM=2BM
3BM=9
BM=3