已知X²+Y²+Z²=XY+YZ+ZX，求证X=Y=Z，要详细回答
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证明：∵x²+y²+z²=xy+yz+zx
∴x²+y²+z²-xy-yz-zx=0
两边同时乘以2，得
2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2zx=0
即x²-2xy+y²+y²-2yz+z²+x²-2zx+z²=0
∴(x-y)²+(y-z)²+(x-z)²=0
∵(x-y)²≥0,(y-z)²≥0,(x-z)²≥0
∴(x-y)²=0,(y-z)²=0,(x-z)²=0
∴x-y=0,y-z=0,x-z=0
∴x=y,y=z,x=z
即x=y=z
∴x²+y²+z²-xy-yz-zx=0
两边同时乘以2，得
2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2zx=0
即x²-2xy+y²+y²-2yz+z²+x²-2zx+z²=0
∴(x-y)²+(y-z)²+(x-z)²=0
∵(x-y)²≥0,(y-z)²≥0,(x-z)²≥0
∴(x-y)²=0,(y-z)²=0,(x-z)²=0
∴x-y=0,y-z=0,x-z=0
∴x=y,y=z,x=z
即x=y=z
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已知X²+Y²+Z²=XY+YZ+ZX，
所以2X²+2Y²+2Z²=2XY+2YZ+2ZX
所以X²-2XY+Y²+Z²-2ZX+X²+Y²-2YZ+Z²=0
所以（X-Y）²+（Z-X）²+（Y-Z）²=0
所以X=Y Z=X Y=Z
所以X=Y=Z，得证
所以2X²+2Y²+2Z²=2XY+2YZ+2ZX
所以X²-2XY+Y²+Z²-2ZX+X²+Y²-2YZ+Z²=0
所以（X-Y）²+（Z-X）²+（Y-Z）²=0
所以X=Y Z=X Y=Z
所以X=Y=Z，得证
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