Question

用数学归纳法证明过程的问题

用数学归纳法证明过程第一步是n去第一个值。第二步是假设n=k时命题成立，就是这里不理解了，假如n=k刚好与这个式子矛盾不成立，那又怎么证明n=k+1时成立呢？（我的主要疑问是在假设n=k时有点疑问）
我是个高中学生，刚学到这儿，不太理解，麻烦用比较容易理解的方法帮我解释一下，谢谢。
如果n=k成立，那么可以设n=k+1，是否可以看成k和k+1是一样的？既然n=k成立那么，n=k+1也成立，就不用证明了。想到这里就不明白了，麻烦了！

Answer 1

恩 你要理解的话不能那么想
首先 已经证明了n=1成立
假设n=k成立 如果能推出n=k+1成立的话

那么n=1就可以推出n=2 然后一直循环下去
这里n=1相当于是一个基石

指导你一直往下

还有
在第二步中，在递推之前， 时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对 的正确性可以传递到 时的情况.有了这一步，联系第一步的结论（命题对 成立），就可以知道命题对 也成立，进而再由第二步可知 即 也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于 的正整数都成立.在这一步中， 时命题成立，可以作为条件加以运用，而 时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将 代入命题.

看到你补充了的
假设n=k成立 不是去设n=k+1成立 而是利用n=k成立这一条件去证明n=k+1成立

如果还有不懂的 直接来问我好啦
O(∩_∩)O~

Answer 2

对不起，刚才理解错你的意思了。
关于数学归纳法的思想楼上几位其实已经讲得很清楚了，你的问题确实要设计到数理逻辑方面的知识，所以只能浅层地讲下，
个人看法是：
既然已经有了n=1时命题是成立的，那么假设n=k时也成立也是顺理成章的，因为我们已经有了一个k=1使得命题成立，而如果n=k成立能够推出n=k+1时也成立，那么由递推的思想当然能够推出命题成立。
至于你的问题“假如n=k刚好与这个式子矛盾不成立，那又怎么证明n=k+1时成立呢”，我认为没有考虑的必要，因为我们要验证命题的正确与否只需关心n=k成立的情况即可，而对于n=k不成立的情况是否能够推出n=k+1成立其实对我们验证命题没有任何帮助。举个例子，如果我们要验证“如果天下雨，地就湿”，我们只需关心“天真的下雨时，地是否湿”，至于“天没下雨”时地不管湿不湿都不能否定这个命题，因为前提是“如果天下雨”。
这个问题也是同样道理如果n=k是不成立的也不会影响最后命题的真假。

呃~ 不知道这样说你能不能懂？
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你不能那样想，k和k+1是前一个与后一个的关系，不能视为等同。假设n=k成立，是要你由这个假设去推导n=k+1也成立，此处就不能再用假设去得出n=k+1成立了，而是要用推导验证。当然你假设n=k+1也可以，那样的话你就要由n=k+1去推导n=k+2成立，道理与前面是一样的。如果照你的说法，k与k+1一样，那么对于任意的n命题都成立，当然就不用证明啦。这样就像说“假设这个命题是成立的，那当然可以推出这个命题是正确的”，很明显这种说法并没有真正地证明了命题。

Answer 3

二楼正解。
数学归纳法的思想是：当n=1成立时，假设(注意是假设)n=k时成立，如果通过 n=k 的结论（注意，是通过n=k的结论）能够推出 n=k+1 也成立，则该式成立。

很显然k和k+1并不一样，k+1比k大一，嘿嘿。也就是说，如果k=1,k+1就等于2；如果k=2,k+1就等于3；……如果k=100000000000,k+1就等于100000000001.

很显然，如果我们已经证明了n=1时某式成立，如果假设当n=k时成立(k是个变量哦，你想它是几就是几哦)推导出 n= k+1 时成立，那么我们就完全可以推导出当n=2时成立（因为1成立，当k=1时，由于k+1也成立，所以n=2时成立），既然n=2都成立了，那n=3当然也成立啦……既然n=100000000000都成立了，那n=100000000001当然也成立啦。

(补充一下，我看到楼主问说“假如n=k刚好与这个式子矛盾不成立”其实这个假设是不存在的，因为数学归纳法就是要假设n=k时成立)

Answer 4

这涉及到第二数学归纳法的问题，对于你的问题补充“既然n=k成立那么，n=k+1也成立”，你的两个都是假设，那对结果没有帮助。前面的假设是后面的基石，此外，我要纠正你的一个说法，正确说法应是：假设当N取K时成立，那么当（是“当”而非“设”）N取K+1时。接下来就是证明。 这其中包含了部分逻辑学，有点复杂， 假设当N取K{K包含第一个值}的时候成立,接下来就是如何证明N取K+1时成立，实际上这是一个一直向正无穷延伸的过程，这种证法的完美你也要自己体会。 实际上第二步假设n=k时命题成立，和第三步证明n=k+1在n=k时命题成立情况下也成立，就是证明，“如果前一个数能够满足那个式子成立，那么他的后一个数（就是比他大1的数）也能使式子成立”这个命题。
你仔细考虑，这不矛盾的。

Answer 5

……恩，这涉及到数理逻辑。不要深究的好……囧

第一步是把n取第一个值，带入到要证明的式子，看是否成立。
接下来要证明的是，“如果前一个数能够满足那个式子成立，那么他的后一个数（就是比他大1的数）也能使式子成立”这个命题。
如果能把这个命题证明出来，再加上第一个数你已经手动的验证过他是成立的了，如果第一个数成立，那么第二个数就成立，如果第二个数成立，那么第3个数就成立，………………依次下去所有的数就应该成立。这样就是归纳法的证明思路了。

你说的“假如n=k刚好与这个式子矛盾不成立，那又怎么证明n=k+1时成立呢”，如果上面那个命题你证明出来了，那是不可能的。
实际上第二步假设n=k时命题成立，和第三步证明n=k+1在n=k时命题成立情况下也成立，就是证明，“如果前一个数能够满足那个式子成立，那么他的后一个数（就是比他大1的数）也能使式子成立”这个命题。

如果你又多余的时间和精力可以看看逻辑学，很有帮助