Question

如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA、CD分别绕点B、C同时逆时针旋转60°得四边形A′BCD′

如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA、CD分别绕点B、C同时逆时针旋转60°得四边形A′BCD′，其对角线交点为O′，连接OD′．下列结论：①四边形A′BCD′为菱形；②S四边形A′BCD′＝12S正方形ABCD；③线段OD′的长为3-1；④点O运动到点O′的路径是线段OO′．其中正确的结论共有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

①根据题意，∠A′BA=∠D′CD=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCD′=30°，
∴∠A′BC+∠BCD′=60°+90°+30°=180°，
∴A′B∥CD′，
又∵A′B=CD′=AB，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，
∵AB=BC（正方形的边长相等），
∴四边形A′BCD′是菱形，故本题小题正确；

②∵∠ABA′=60°，AB=2，
∴点B到A′D′的距离是：

1

2

A′B=

1

2

AB=1，
∴S_{四边形A′BCD}=BC?（

1

2

A′B）=2×1=2，
S_{正方形ABCD}=BC?AB=2×2=4，
∴S_{四边形A′BCD}=

1

2

S_{正方形ABCD}，故本小题正确；

③∵点O是AC的中点，
∴OA′=A′B?sin60°+

1

2

BC=2×

3

2

+

1

2

×2=

3

+1，
∴OD′=OA′-A′D′=

3

+1-2=

3

-1，故本小题正确；

④根据菱形的对角线互相垂直可得△BCO′是直角三角形，
∴以BC的中点为圆心，以BC的一半为半径，点O逆时针旋转可以到达点O′的位置，经过路径是弧而不是线段OO′，故本小题错误．
综上所述，正确的结论有①②③共3个．
故选C．