设函数f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数,当x∈[-1,0)时,f(x)=2ax+1x2(a∈R).(1)当x
设函数f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数,当x∈[-1,0)时,f(x)=2ax+1x2(a∈R).(1)当x∈(0,1]时,求f(x)的解析式;(2)若...
设函数f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数,当x∈[-1,0)时,f(x)=2ax+1x2(a∈R).(1)当x∈(0,1]时,求f(x)的解析式;(2)若a>-1,试判断f(x)在(0,1)上的单调性,并证明你的结论;(3)是否存在a,使得当x∈(0,1)时,f(x)有最大值-6.
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解答:(1)解:设x∈(0,1],则-x∈[-1,0),f(-x)=-2ax+
,
∵f(x)是奇函数.∴f(x)=2ax-
,x∈(0,1].
(2)证明:∵f′(x)=2a+
=2(a+
),
∵a>-1,x∈(0,1],
≥1,
∴a+
>0.即f′(x)>0.
∴f(x)在(0,1]上是单调递增函数.
(3)解:当a>-1时,f(x)在(0,1]上单调递增.
f(x)max=f(1)=-6,?a=-
(不合题意,舍之),
当a≤-1时,f′(x)=0,x=
.
如下表:fmax(x)=f(
)=-6,解出a=-2
. x=
∈(0,1).
∴存在a=-2
,使f(x)在(0,1)上有最大值-6.
1 |
x2 |
∵f(x)是奇函数.∴f(x)=2ax-
1 |
x2 |
(2)证明:∵f′(x)=2a+
2 |
x3 |
1 |
x3 |
∵a>-1,x∈(0,1],
1 |
x3 |
∴a+
1 |
x3 |
∴f(x)在(0,1]上是单调递增函数.
(3)解:当a>-1时,f(x)在(0,1]上单调递增.
f(x)max=f(1)=-6,?a=-
5 |
2 |
当a≤-1时,f′(x)=0,x=
3 | ?
| ||
如下表:fmax(x)=f(
3 | ?
| ||
2 |
| ||
2 |
∴存在a=-2
2 |
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(1)解:x∈(0,1],则-x∈[-1,0),故
f(-x)=2a(-x)+1/(-x)²=-2ax+1/x²,又因为f(x)是奇函数,故
f(x)=-f(-x)=2ax-1/x²
(2)解:当a>0时,在(0,1]上2ax单调递增,-1/x²也单调递增,故f(x)在此区间内单调递增。
证:在(0,1]上,f`(x)=2a+2/x³>2a,又因为a>0,故f`(x)>0,
所以函数f(x)在(0,1]上单调递增。
f(-x)=2a(-x)+1/(-x)²=-2ax+1/x²,又因为f(x)是奇函数,故
f(x)=-f(-x)=2ax-1/x²
(2)解:当a>0时,在(0,1]上2ax单调递增,-1/x²也单调递增,故f(x)在此区间内单调递增。
证:在(0,1]上,f`(x)=2a+2/x³>2a,又因为a>0,故f`(x)>0,
所以函数f(x)在(0,1]上单调递增。
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