Question

已知函数f（x）≥|x-2a|+|x-a|，a∈R，a≠0．（Ⅰ）当a=1时，解不等式：f（x）＞2；（Ⅱ若b∈R且b≠0，证

已知函数f（x）≥|x-2a|+|x-a|，a∈R，a≠0．（Ⅰ）当a=1时，解不等式：f（x）＞2；（Ⅱ若b∈R且b≠0，证明：f（b）≥f（a），并说明等号成立时满足的条件．

Answer 1

（Ⅰ）因为a=1，所以原不等式为|x-2|+|x-1|＞2，
当x≤1时，原不等式化简为1-2x＞0，即x＜

1

2

；
当1＜x≤2时，原不等式化简为1＞2，即x∈?；
当x＞2时，原不等式化简为2x-3＞2，即x＞

5

2

．
综上，原不等式的解集为{x|x＜

1

2

或x＞

5

2

}．…5分
证明：（Ⅱ）由题知f（a）=|a|，
f（b）=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|≥|2a-b+b-a|=|a|，
所以f（b）≥f（a），8分
又等号成立当且仅当2a-b与b-a同号或它们至少有一个为零．…10分