Question

已知tan(α-β）=1/2，tanβ=－1/7，α，β∈（0，π），求2α-β的值。

事先算了一遍，结果：－（3/4）π，π/4，（5/4）π，而答案仅有－（3/4）π

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

tan(α-β）= (tanα - tanβ)/(1+ tanαtanβ),tanβ=－1/7代入，得，
tanα=1/3,
tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]=[tan(α-β）+tanα]/(1-tan(α-β)tanα)=1
因为tanβ=－1/7＜0，β∈（0，π），
所以β∈（π/2，π），
又因为tanα=1/3＞0，α∈（0，π），
所以α∈（0，π/2），
所以，-π＜2α-β＜π/2
又因为tan(2α-β)=1＞0
所以，2α-β=π/4 或 2α-β=5π/4

Answer 3

1)求出tan2(α－β)的值
tan2(α－β)=2tan(α－β)/[1-(tan(α－β))^2]=1/(1-1/4)=4/3
2)求出tan(2α－β)的值
tan(2α－β)=tan[2(α－β)+β]=[tan2(α－β)+tan β]/[1-tan2(α－β)tan β]
=(4/3-1/7)/(1+4/3*1/7)
=1
又因为：α,β∈（0,π）,tan β＝－1/7<0,tanα=1/3>0
所以,可得：α∈（0,π/2）,β∈（π/2,π）,
所以,可得：2α－β∈（-π,π/2）,
又因为：tan(2α－β)=1
所以,2α－β=-3π/4 或 2α－β=π/4

Answer 4

楼上推算正确 可α的范围能再缩小一点 ∵0＜tanα＝1/3＜1 而tan（π/4）＝1 ∴α∈（0，π/4） ∴（2α-β）∈（-π，-π/4） 故只有一解 2α-β＝-3π/4