Question

★高中，直线、圆的方程数学题求助!!!

已知圆满足:①截y轴所得弦长为2，②被x轴分成两段圆弧，其弧长比为3:1。在满足条件的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆方程。

Answer 1

设圆方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
(r>0)
①截y轴所得弦长为2,令x=0,
(y-b)^2=r^2-a^2
弦长2sqrt(r^2-a^2)=2
r^2-a^2=1
(1)
②被x轴分成两段圆弧，其弧长比为3:1,即被x轴截得弦长为r*sqrt2
令y=0
(x-a)^2=r^2-b^2
2*sqrt(r^2-b^2)=r*sqrt2
4(r^2-b^2)=2r^2
b^2=1/2r^2
(2)
圆心到直线距离为d=|a-2b|/sqrt5
要距离最小，a,b需同号。
将(1)，(2)代入，有:
d=|sqrt(r^2-1)-r*sqrt2|/sqrt5=[r*sqrt2-sqrt(r^2-1)]/sqrt5
求导，取导数为0的r值:r=sqrt2
代入(1)，(2)，并且保持a,b同号，得出两组解:
(x-1)^2+(y-1)^2=2
或(x+1)^2+(y+1)^2=2