Question

高数题：利用极值求椭圆5x^2+4xy+2y^2=1的半长、短轴.

Answer 1

通过观察可以发现(x,y)(-x,-y)都在椭圆上，说明椭圆是关于原点对称的。所以我们要求的只是x^2+y^2的极值。然后用拉格朗日乘数法就可以很容易求出。

椭圆上任意两个间的距离，其中长轴两端点的距离最大，由此转化为极值问题，就是求f(x1,x2,y1,y2)=(x1-x2)^内2+(y1-y2)^2的最大值；

设拉格朗日函数F=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+λ(5x1^2+4x1y1+2y1^2-1)+μ(5x2^2+4x2y2+2y2^2-1)，对各变容量求偏导，求出x1x2y1y2，代人f计算即可。

扩展资料：

在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

参考资料来源：百度百科-椭圆