Question

高数：在椭圆x2+4y2=4求一点，使其到直线2x+3y-6=0的距离最短

Answer 1

椭圆上的点为（2cosa,sina)因此，就转化为点到直线2x+3y-6=0的距离最短
运用点到直线距离公式得：|4cosa+3sina-6|/√13
也就是求｜4cosa+3sina-6｜的最小值，即求4cosa+3sina的最大值
4cosa+3sina＝5*(4/5cosa+3/5sina)=5sin(x+a)，其中sinx=4/5,cosx=3/5
可见4cosa+3sina的最大值是5
因此｜4cosa+3sina-6｜的最小值＝1
点到直线距离最短：√13/13
此点sin(x+a)=1
x+a=π/2
a=π/2-x=π/2-arcsin4/5
sina=sin(π/2-arcsin4/5)=cosarcsin4/5
cosa=sinarccos3/5
点的坐标为：（2sinarccos3/5，cosarcsin4/5）

Answer 2

作已知直线2x＋3y－6=0的平行线2x＋3y＋m=0，此直线与椭圆x²＋4y²=4联立方程组，消去y，得到关于x的方程，令其判别式=0，得m=±5，则直线是2x＋3y＋5=0【舍去，这是最远距离的直线】或2x＋3y－5=0，此时再联立2x＋3y－5=0与椭圆x²＋4y²=0确定所求的点是(－14/5，3/5) ，最短距离是√13/13

Answer 3

椭圆上任意一点(2cost,sint)到直线的距离d=|4cost+3sint-6|/根号(13), 故最短距离为1/根号(13), 因为4cost+3sint最小为-5最大为5