Question

微积分题求解

设f(x)可微，f(0)=0，f'(0)=1，F(x)=∫tf(x²-t²)dt（注：积分下限是0，上限是x）
这道题答案上写等量代换 x²-t²=u，然后直接就得出 F(x)=½∫f(u)du（积分下限是0，上限是x²）。
请问这一步是怎么得到的，麻烦告知具体的解题过程，谢谢！

Answer 1

变量代换： x²-t²=u
两边微分： 0 - 2tdt = du
在没有积分之前，变量是 t, x 是积分的上限
所以： tdt = -(1/2)du
又因为：x²-t²=u, t: 0--->x, u:x²--->0
所以：∫tf(x²-t²)dt =-(1/2)∫f(u)du
此时的积分区间是： x²--->0
上下区间对调后，得：
∫tf(x²-t²)dt =-(1/2)∫f(u)du 【x²--->0】
=(1/2)∫f(u)du 【0--->x²】