Question

高等数学一向量问题

题目：求过点P（1，1，4）到直线L： x-2/1=y-3/1=z-4/2 的距离

x-2/1=y-3/1=z-4/2这是直线的点向式方程，能看懂吧。

解法是先求过点P（1，1，4）且垂直于直线L的平面Л的方程，显然，平面Л的法向量n=（1，1，2）。

法向量不是垂直与平面的吗， 向量n=（1，1，2）没有说是垂直平面的啊

麻烦会的人说下 在线等啊

Answer 1

你好，楼主，我来说明下：1为什么要取这个点：是因为你求出了这条直线的方向向量S，只要你给出直线上的一点，你就可以得出这条直线的直线方程，所以点是必须求出来的
2怎么来的参数方程：由点向式方程（或称为对称式方程）：
（x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p=t
（其中x0,y0,z0,就是1求出来的已知点,(n,m,p)就是向量S）
最后分别提出来化成：（x-x0)/m=t
(y-y0)/n=t
(z-z0)/p=t
；x0=1,y0=-2,z0=0,带入得上面的参数方程了.
最后，我还是给楼主书上原版方法吧：我用的是同济大学第六版下，在P44有具体说明

Answer 2

先做一平面过点P（1，1，4）且垂直于已知直线，
那么这平面的方程应为（x-1）+(y-1)+2(z-4)=0,
再求与已知直线的交点，已知直线的参数方程为
x=2+t, y=3+t, z=4+2t
将参数方程带入平面方程可求的t=-1/2
从而得交点为（3/2,5/2,3）
再根据两点间的距离公式就可以得出答案：
p^2=(1-3/2)^2+(1-5/2)^2+(4-3)^2
可算出p,就是两点间的距离,也即点P（1，1，4）到直线L： x-2/1=y-3/1=z-4/2 的距离.

Answer 3

"过点P（1，1，4）且垂直于直线L的平面Л"
直线L就是平面的一条法线
由于直线的方向向量是(1,1,2)(由直线方程直接得到。对称式方程的三个分母组成)
此向量便是平面的一个法向量