Question

已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0,a≠1)

1.求函数f(x)+g(x)的定义域
2.判断函数f(x)-g(x)的奇偶性，并予以说明
3.求使f(x)+g(x)<0成立的x的取值范围

Answer 1

（1）f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(1-x)=loga(x+1)/(1-x)
(-1<x<1)
因为f(-x)-g(-x)=loga(-x+1)/(1+x)=loga[(1-x)/(x+1)]
=loga[(x+1)/(1-x)]^-1
=-loga(x+1)/(1-x)
=-[f(x)-g(x)]
所以f(x)-g(x)是奇函数
（2）f(x)+g(x)=loga(x+1)+loga(1-x)=loga(x+1)(1-x)<0
当0<a<1时(x+1)(1-x)>1
1-x^2>1
x^2<0
故使得f(x)+g(x)<0成立的x的集合是空集
当a>1时0<(x+1)(1-x)<1
解得-1<x<1 且x<>0
故使得f(x)+g(x)<0成立的x的集合是(-1,0)并(0,1)

Answer 2

1、x+1>0,1-x>0
x>-1且x<1
(-1,1)

2、定义域关于原点对称，所以：
设h(x)=f(x)-g(x)＝loga(x+1)－loga(1-x)＝loga[(x+1)/(1-x)]
h(-x)=loga[(1-x)/(1+x)]=-loga[(x+1)/(1-x)]=-h(x)
奇函数

3、f(x)+g(x)<0，loga[(x+1)(1-x)]<0
当a>1时，0<(x+1)(1-x)<1,
(x+1)(1-x)>0,-1<x<1
(x+1)(x-1)>-1,x≠0
所以x∈(-1,0)∪(0,1)

当0<a<1时，(x+1)(1-x)>1,解集为空。