Question

已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且满足2anSn-an2=1．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）求数

已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且满足2anSn-an2=1．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）令Tn=1S21+12S22+…+1nS2n，求证Tn≤2n?1n．

Answer 1

（Ⅰ）令n=1则有2a₂¹-a₂¹=1，?a₁=1（a₁=-1舍去）．
令n=2，得2（a₁+a₂）a₂-a₂²=1，即a₂²+2a₂-1=0．
∴a2＝

2

?1（舍去负值）．
同理，令n=3可解得a3＝

3

?

2

．（3分）
（Ⅱ）∵2s_na_n-a_n=1，①
又n≥2时有a_n=s_n-s_n-1，代入①式并整理得s_n²-s_n-1²=1．
∴s_n²是首项为1，公差为1的等差数列．（6分）
∴s_n²=1+n-1=n，∴an＝sn?sn?1＝

n

?

n?1

（n≥2），又a₁=1
∴an＝

n

?

n?1

．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知Tn＝1+

1

22

+

1

32