Question

求所有正整数x，y，使得x 2 +3y与y 2 +3x都是完全平方数

求所有正整数x，y，使得x 2 +3y与y 2 +3x都是完全平方数．

Answer 1

解：令x 2 +3y=m 2 （1）， y 2 +3x=n 2 ， 由于其对称性，可暂设x≥y，不失一般性． 由（1）式可知m＞x， 又因为m 2 =x 2 +3y＜x 2 +4x+4=（x+2） 2 ， 所以，只有m=x+1，代入（1）得 3y=2x+1，x=    将其代入（2）式得，y 2 + y﹣ =n 2 同理可以得y＜n＜y+3， 故只有n=y+1或n=y+2 分别代入（4）式得， y=1或，y=11， 由（3）式可得，x=1或x=16， 又因为x，y可互换， 故方程有三组解，即（1，1）；（16，11）；（11，16）