Question

三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC．AC⊥CB，D为AB中点，CB=1，AC=3，A1A=3．（I）求证：BC1∥平面A1

三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC．AC⊥CB，D为AB中点，CB=1，AC=3，A1A=3．（I）求证：BC1∥平面A1CD；（II）求三棱锥C1-A1DC的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AC₁，设AC₁∩A₁C=E，连接DE
∵A₁B₁C₁-ABC是三棱柱，
侧棱AA₁⊥底面ABC．
且AC=AA₁=

3

∴AA₁C₁C是正方形，E是AC₁中点，
又D为AB中点
∴ED∥DC₁
又ED?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD
∴BC₁∥平面A₁CD
（II）在平面ABC中过点D作AC的垂线，交AC于H．由于
底面ABC⊥面ACC₁A₁，
且AC为两平面交线，
∴DH⊥面ACC₁A₁．
△ABC中，AB=

12+( 3 )2

=2，所以∠BAC=30°，且AD=1．
在△ABC中，HD=ADsin30°=

1

2

由于S_△AC1C=

3

2

，
所以V_D-AC1C=

1

3

?DH?S_△AC1C=

1

3

?

1

2

?

3

2

=

1

4

∴由等积法可得V_C1-A1DC=V_D-AC1C=

1

4

．