Question

已知函数f(x)＝e^x-a(x-1)，若函数f(x)>=b对任意x属于R都成立，则ab的最大值为

已知函数f(x)＝e^x-a(x-1)，若函数f(x)>=b对任意x属于R都成立，则ab的最大值为 急助

Answer 1

ab的最大值为a（1+a).
因f(x)＝e^x-a(x-1)，f(x)>=b
所以e^x-a(x-1)>=b（x属于R）
则当x->-∞时，0-a(x-1)>=b,即a(x-1)+b≤0.
则由此推断，a为正数。
当x->0时，要使e^x-a(x-1)>=b成立，则b的最大值为1+a即b≤(1+a）.
则ab≤a(1+a），即ab的最大值为a(1+a）

Answer 2

ab的最大值为a（1+a)

解：
已知f(x)＝e^x-a(x-1)，f(x)≥b
∴e^x-a(x-1)≥b（x∈R）
∴当x≤0时，0-a(x-1)≥b,即a(x-1)+b≤0.
则由此推断，a为正数。
当x＞0时，要使e^x-a(x-1)≥b成立，则b的最大值为1+a即b≤(1+a）.
∴ab≤a(1+a），即ab的最大值为a(1+a）

Answer 3

我觉得可以由第二问函数的单调性，先排除掉a<=0的情况，因为a<=0的话f（x）不存在最小值，无法使得原不等式成立。再看a>0的情况，可以求得f（x）的最小值在x=lna处取得，此时最小值为a•（2-lna），再标记g（a）=a•（2-lna），求得g（a）<=e，等号成立当且仅当a=e，所以b必然<=e，又a>0，所以ab的最大值为a=b=e时，即ab=e^2

Answer 4

我先回答第一部分：（转手机）

追答

Answer 5

f(x)的导数=e^x-a，以下称为f0(x)
(1) a<0 , 当x趋向负无穷时，f(x)趋向负无穷，显然不成立。
(2) a=0 , ab=0.
(3) a>0 , 令f0(x)=0,得x=lna.
所以f(x)在(0,lna)减; 在(lna,正无穷)增
所以f(x)min=f(x)极小=f(lna)=a-alna+a>=b
a(a-alna+a)>=ab
记g(a)= a(a-alna+a)=a^2(2-lna)
g0(a)=4a-(a+2alna)=a(3-2lna)
令g0(a)=0,得a=e^(3/2)
g(a)在(0,e^(3/2))增在(e^(3/2),正无穷)减
g(a)max=g(a)极大=g(e^(3/2))=(1/2)(e^3)
所以ab<=(1/2)(e^3).