Question

求证: sin2x/ [(sinx+cosx-1)(sinx+1-cosx)] =cot(x/2)

如题,
求证: sin2x/ [(sinx+cosx-1)(sinx+1-cosx)] =cot(x/2)

Answer 1

分母=sin²x-(cosx-1)²
=sin²-cos²x+2cosx-1
=-cos2x+2cosx-1
=-(2cos²x-1)+2cosx-1
=-2cos²x+2cosx
=-2cosx(cosx-1)

分子=2sinxcosx
所以左边=-sinx/(cosx-1)
=-2sin(x/2)cos(x/2)/[1-2sin²(x/2)-1]
=-2sin(x/2)cos(x/2)/[-2sin²(x/2)]
=cos(x/2)/sin(x/2)
=cot(x/2)=右边

Answer 2

左边上面化为2sinxcosx
下面平方差 把sinx做一个整体 cosx-1做一个整体
然后把平方差的sinx的平方化掉 常数项也没了
在上下约分 得到个较简单的式子 在把上下的X都化为x/2
注意底下的二倍角公式用sin化把常数项约掉 就得到了

Answer 3

sin2x/ [(sinx+cosx-1)(sinx+1-cosx)]
=sin2x/ [(sinx-(1-cosx)(sinx+1-cosx)]
=sin2x/ [(sin^2x-(1-cosx)^2]
=sin2x/ [sin^2x-1-cos^2x+2cosx]
=sin2x/ [sin^2x-(sin^2x+cos^2x)-cos^2x+2cosx]
=sin2x/ [-2cos^2x+2cosx]
=2sinxcosx/2cosx(1-cosx)
=sinx/(1-cosx)
=cot(x/2)