Question

lim(n->∞)[n^1990/n^k-(n-1)^k]=A,告诉我A怎么求，具体点。

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Answer 1

解：分享一种解法，利用二项展开式求解。∵(n-1)^k=n^k-kn^(k-1)+[k(k-1)/2!]n^(k-2)+……+(-1)^k,
∴原式=lim(n→∞)(n^1990)/[kn^(k-1)-[k(k-1)/2!]n^(k-2)+……-(-1)^k]=lim(n→∞)1/[kn^(k-1991)-[k(k-1)/2!]n^(k-1992)+……-(-1)^kn^(-1990)]=A。
显然，n→∞时，当且仅当k-1991=0成立，极限方可存在。∴k=1991，A=1/1991。
供参考。

Answer 2

当k>1时：
n^k-(n-1)^k=n*n^(k-1)-(n-1)(n-1)^(k-1)=n*n^(k-1)-n(n-1)^(k-1)+(n-1)^(k-1)
=n[n^(k-1)-(n-1)^(k-1)]+(n-1)^(k-1)
显然，当n->∞时，n^k-(n-1)^k->∞
A=lim(n->∞)[n^1990/(n^k-(n-1)^k)]=lim(x->∞)[x^1990/(x^k-(x-1)^k)]
应用洛必达法则：
A=lim(x->∞)(1990)x^1989/[(k(x^(k-1)-(x-1)^(k-1))]

=lim(x->∞)1/(x^(k-1990)-(x-1)^(k-1990)))])
=(1990!/[k*(k-1)*...*(k-1989)lim(x->∞)1/(x^(k-1990)-(x-1)^(k-1990)))])
当k>1990时，A=0
当k<=1990时，A=∞

Answer 3

k=1991 A=1

Answer 4

不知道。

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