Question

已知定义域为(0，+∞)的函数f(x)满足:对任意x∈(0，+∞)，恒有f(2x...

已知定义域为(0，+∞)的函数f(x)满足:对任意x∈(0，+∞)，恒有f(2x)=2f(x)成立;当x∈(1，2]时，f(x)=2-x.给出如下结论: ①对任意m∈Z，有f(2m)=0; ②函数f(x)的值域为[0，+∞); ③存在n∈Z，使得f(2n+1)=9; ④“若k∈Z，(a，b)⊆(2k，2k+1)”，则“函数f(x)在区间(a，b)上单调递减” 其中所有正确结论的序号是①②④①②④.

Answer 1

解答:解:①f(2m)=f(2•2m-1)=2f(2m-1)=…=2m-1f(2)=0，正确;
②取x∈(2m，2m+1)，则
x
2m
∈(1，2];f(
x
2m
)=2-
x
2m
，从而f(x)=2f(
x
2
)=…=2mf(
x
2m
)=2m+1-x，其中，m=0，1，2，…
从而f(x)∈[0，+∞)，正确;
③由②得f(x)=2m+1-x，令x=2n+1，则有f(2n+1)=2m+1-2n-1，
假设存在n使f(2n+1)=9，即存在x1，x2，2x1-2x2=10，
又2x变化如下:2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误;
④根据前面的f(x)=2m+1-x，x位于(a
b)时，故f(x)是递减的，容易知道该选项正确;
综合有正确的序号是①②④.
故答案为①②④.