Question

如图,D、E分别是△ABC的边BC和AB上的一点，且△ABD与△ACD的周长相等

△CAE与△CBE的周长相等，设BC=a,AC=b,AB=c,(1) 求AE和BD的长；（2）若角BAC=90°，△ABC的面积为S,求证S=AE*BD.

Answer 1

(1)
△ABD与△ACD的周长相等,有:AB+BD=AC+CD.c+BD=b+CD=b+a-BD
BD=(a+b-c)/2
△CAE与△CBE的周长相等,有:AC+AE=BC+BE.b+AE=a+c-AE
AE=(a+c-b)/2
(2)
若角BAC=90度,有:a^2=b^2+c^2
S=1/2AB*AC=bc/2
再因为:AE*BD=(a+c-b)(a+b-c)/4=[a^2-(b-c)^2]/4
=[a^2-b^2+2bc-c^2]4
=2bc/4
=bc/2=S
所以就得到了:S=AE*BD