Question

关于微分方程计算过程出现的绝对值符号的问题

求x(y^2-1)dx + y(x^2-1)dy = 0的通解中
后面算得ln|y^2-1| = -ln|x^2-1| + C1
最后得(x^2-1)(y^2-1) = C
我不知道这个绝对值符号怎么就可以直接去掉了？我实在不明白，好像解微分方程到后面都有绝对值，请问为什么可以去掉？谢谢

Answer 1

如果加上绝对值得:|(x^2-1)(y^2-1)| = C
从而有(x^2-1)(y^2-1) = 正负C
C是任意常数,所以正负C也是任意常数,可以将正负C写成常数
因此就相当于在计算过程将出现的绝对值符号去掉了,所以在解这类微分方程里,就不用加绝对值了.

Answer 2

这一部你可以分情况去讨论，最后会发现结果在形式上是一样，只是在加了绝对值时一般是一个特解，那么在通解中这一步后面就全部统一到一个式子中了。具体可见高等数学（同济大学出的第五版，下册最后一章）。

Answer 3

因为对数中的x永远是大于零的数 所以可以去掉绝对值 如果是小于零就没意义了 当x>0时§1/xdx=lnx+C而当x<0§时1/xdx=ln(-x)+C所以当x取任意值时§1/xdx=ln|x|+C