Question

请详细讲解一下放缩法，以及它解决不等式和数列问题的运用。

Answer 1

例说放缩法在微积分中的使用

江苏省睢宁高级中学 王苏华 221200

所谓放缩法，就是针对不等式的结构特征，运用不等式的性质，瞄准目标，将不等式的一边或两边进行放大或缩小，使问题解决的一种变形手段.无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则，保证变换的连续性、目的性与和谐性 . 放缩法在微积分中有着广泛的应用，然而放缩法的教学是一大难点，学生接受、运用时普遍感到难以驾驭.归因于使用放缩法需要较高的拆分组合技巧，还要把握好放缩的“尺度”，否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论.本文将就如何放缩、如何适度放缩谈一些个人的见解.
一、放缩的作用
放缩变形与恒等变形不同，放缩变形赋予人们较大的创造空间，允许添加、舍弃一些项（或项的局部），使放缩后项的结构简单，或具有规律，促成问题解决.这就是放缩的作用.
1． 化繁为简

2． 化一般为特殊

二、 放缩的方法
⒈利用常见的不等式
使用放缩法时，需要熟练运用一些常见的不等式，如

本题运用算术—几何不等式，因“式”利导，恰当放缩，完成证明.
例 4 求证：对任意自然数n>1有
证明

运用Bernoulli不等式，完成证明.

⒉利用函数（或数列）的有界性
常见的有界函数有y=sinx和y=cosx ,如

本题巧妙的应用了正、余弦函数的有界性进行适当的放大或缩小.如

3利用函数定义域的区间端点

例 6、7分别在（*）、（**）处恰当地应用区间端点进行适当的放大或
缩小,成功化解矛盾，促成问题的解决.

4利用函数（或数列）单调性
若处理的式子含有单调函数（或数列），则可用它来完成放缩.

一般，含有单调的函数（或数列）, 易于寻找函数（或数列）的上（或下）界，应用上（或下）界完成放缩.对非单调的函数（或数列），也可找上（或下）界.

5利用放大、缩小分母或分子
例 10 求证
证明

本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。
6利用添(或舍）项法

三、放缩的控制
所谓放缩的控制是指放缩的“尺度”适当，“精度”恰当，符合目标要求.
⒈ 部分放缩
在放缩过程中，为防止放的过大或过小，而采取保持一部分不动，变化另一部分.

例 12 求证
证明

说明：若本题从第二项起放大，则左边<1+1- <2 ,这使的证明失败.

⒉ 分组放缩
运用放缩法处理“多项式”时, 为达到预期的目的，需对式子进行分组放缩.

本题为了说明{a n}¬是单调趋于0的数列，对通项分别作了分组放大和缩小，该方法具有典型性.
⒊ 整体放缩
所谓整体放缩就是条件中含有(或可以推导出)等式，在放缩过程中，构造该等式，对剩余部分再放缩.当采取整体放缩时，可使放缩的精度有效提高，达到解题目的.
例 1 4

分析

由本题的分析过程看，采取整体放缩时，有效提高精度，而整体的寻找也不是“莫须有”，要从题目中得到.
4. 逐次放缩
若遇放缩的结果有多个，且这些结果间有大小顺序，如 ，不要首先用 ，而先 ，逐步调整，即实施逐次放缩，可提高放缩的精度.

综上，如果掌握了放缩法，对于很多难下手的题目，都能找到解题途径，使问题得以解决.当然，还要因“式”利导，化繁为简，注重积累放缩经验，才能把题解活，从而培养和提高自己的分析问题和解决问题的能力.