Question

设函数f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x∈[-1,0)时，f(x)=2ax+1/x^2(a为实数)

(1)当x∈(0,1]时,求f(x)的解析式；
(2)若a>-1，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论；
(3)是否存在a,使得当x∈(0,1]时f(x)有最大值-6

请写出过程！！

Answer 1

解:(1)当x∈(0,1]时,由f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数
则f(x)=-f(-x)=-[-2ax+1/(-x)^2]=2ax-1/x^2
(2)f(x)的导数=2a+2/x^3
由于当x∈(0,1]时2/x^3大于2 而2a<2
所以f(x)的导数>0 故f(x)在(0,1]上的单调递增
(3)由(2)知a>-1时单调递增,则最大值为x=1
y=2a+1=-6解得a=-7/2<-1故不存在a,使得当x∈(0,1]时f(x)有最大值-6