Question

设0小于等于x小于等于2，求函数y=4的（x-0.5）次方-a×2的x次方+a的平方／2+1

Answer 1

y=4的（x-0.5）次方-a×2的x次方+a的平方／2+1
=4^x*4^(-0.5)-a*2^x+a^2/2+1
=2^2x/2-a*2^x+a^2/2+1

当0≤x≤2时
1≤x≤2^2=4

设2^x=t 2^2x=t^2
y=2^2x/2-a*2^x+a^2/2+1
=t^2/2-a*t+a^2/2+1
=1/2(t^2-2at+a^2)+1
=1/2(t-a)^2+1

当a<1时，
t=1函数取得最小值，即x=0 ymin=3/2-a+a^2/2
t=4函数确定最大值，即x=2 ymax=9-4a+a^2/2

当1≤t≤5/2
t=a函数取得最小值，即x=log2(a) ymin=1
t=4函数确定最大值，即x=2 ymax=9-4a+a^2/2

当5/2≤t≤4
t=a函数取得最小值，即x=log2(a) ymin=1
t=1函数确定最大值，即x=0 ymin=3/2-a+a^2/2

当a>4时，
t=4函数确定最小值，即x=2 ymax=9-4a+a^2/2
t=1函数取得最大值，即x=0 ymin=3/2-a+a^2/2