Question

勾股定理带图的证明方法

Answer 1

青朱出入图  刘徽在证明勾股定理时，也是用的以形证数的方法，只是具体的分合移补略有不同．刘徽的证明原也有一幅图，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂．开方除之，即弦也．”后人根据这段文字补了一张图。大意是：三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青放并成玹方。依其面积关系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。

  以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以赢补虚，只要把图中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c的平方 ）．由此便可证得a的平方+b的平方=c的平方

  这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的。在魏景元四年（即公元 263 年），刘徽为古籍《九章算术》作注释。在注释中，他画了一幅像图五(b)中的图形来证明勾股定理。由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分，又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满，所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」。亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。 

  青朱出入图需要用三角形全等的知识进行证明。

Answer 2

利用相似三角形的证法
　　
　　利用相似三角形证明
　　有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。
　　设ABC为一直角三角形,
直角于角C（看附图）.
从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义），而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：
　　因为BC=a,AC=b,AB=c
　　所以a/c=HB/a
and
b/c=AH/b
　　可以写成a*a=c*HB
and
b*b=C*AH
　　综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+c*AH=c*(HB+AH)=c*c
　　换句话说:a*a+b*b=c*c
　　[*]----为乘号
　　
欧几里得的证法
　　
　　《几何原本》中的证明
　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。
设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
　　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：
　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）
三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。
证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
　　其证明如下：
　　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。
其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。
分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A
和
G
都是线性对应的，同理可证B、A和H。
∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。
因为
AB
和
BD
分别等于
FB
和
BC，所以△ABD
必须相等于△FBC。
因为
A
与
K
和
L是线性对应的，所以四方形
BDLK
必须二倍面积于△ABD。
因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。
因此四边形
BDLK
必须有相同的面积
BAGF
=
AB^2。
同理可证，四边形
CKLE
必须有相同的面积
ACIH
=
AC^2。
把这两个结果相加，
AB^2+
AC^2;
=
BD×BK
+
KL×KC
由于BD=KL，BD×BK
+
KL×KC
=
BD(BK
+
KC)
=
BD×BC
由于CBDE是个正方形，因此AB^2
+
AC^2=
BC^2。
此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

Answer 3

证明方法一：取四个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的正方形。

如图，正方形ABCD的面积 ＝ 4个直角三角形的面积 ＋ 正方形PQRS的面积

∴ ( a ＋ b )2 ＝ 1/2 ab × 4 ＋ c2

a2 ＋ 2ab ＋ b2 ＝ 2ab ＋ c2

故 a2 ＋ b2 ＝c2

证明方法二：

图1中，甲的面积 ＝ (大正方形面积) － ( 4个直角三角形面积)。

图2中，乙和丙的面积和＝(大正方形面积)－( 4个直角三角形面积)。

因为图1和图2的面积相等，

所以甲的面积＝乙的面积＋丙的面积

即：c2 ＝ a2 ＋ b2

证明方法三：

四个直角三角形的面积和 ＋小正方形的面积 ＝大正方形的面积，

2ab ＋ ( a －b ) 2 ＝ c2，

2ab ＋ a2 － 2ab ＋ b2 ＝ c2

故 a2 ＋ b2＝c2

证明方法四：

梯形面积 ＝ 三个直角三角形的面积和

1/2 × ( a ＋ b ) × ( a ＋ b ) ＝ 2 × 1/2 × a × b ＋ 1/2 × c × c

(a ＋ b )2 ＝ 2ab ＋ c2

a 2 ＋ 2ab ＋ b2 ＝ 2ab ＋ c2

故 a2 ＋ b2＝c2

点拨：以上四种方法均是使用了面积的方法，勾股定理的证明方法很多，有四百多种，在后面学习了相似三角形之后，我们还可以用相似三角形的方法来证明。

Answer 4

【证法1】（梅文鼎证明）
　
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b
，斜边长为c.
把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.
过C作AC的延长线交DF于点P.
∵
D、E、F在一条直线上,
且RtΔGEF
≌
RtΔEBD,
∴
∠EGF
=
∠BED，
∵
∠EGF
+
∠GEF
=
90°，
∴
∠BED
+
∠GEF
=
90°，
∴
∠BEG
=180°―90°=
90°
又∵
AB
=
BE
=
EG
=
GA
=
c，
∴
ABEG是一个边长为c的正方形.
∴
∠ABC
+
∠CBE
=
90°
∵
RtΔABC
≌
RtΔEBD,
∴
∠ABC
=
∠EBD.
∴
∠EBD
+
∠CBE
=
90°
即
∠CBD=
90°
又∵
∠BDE
=
90°，∠BCP
=
90°，
BC
=
BD
=
a.
∴
BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
,
∴
.
【证法2】（项明达证明）
　
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）
，斜边长为c.
再做一个边长为c的正方形.
把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵
∠BCA
=
90°，QP∥BC，
∴
∠MPC
=
90°，
∵
BM⊥PQ，
∴
∠BMP
=
90°，
∴
BCPM是一个矩形，即∠MBC
=
90°.
∵
∠QBM
+
∠MBA
=
∠QBA
=
°，
∠ABC
+
∠MBA
=
∠MBC
=
90°，
∴
∠QBM
=
∠ABC，
又∵
∠BMP
=
90°，∠BCA
=
90°，BQ
=
BA
=
c，
∴
RtΔBMQ
≌
RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF
≌
RtΔAEF.
【证法3】（赵浩杰证明）
　
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）
，斜边长为c.
再做一个边长为c的正方形.
把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB
=
∠CFD
=
90°，
∴RtΔCJB
≌
RtΔCFD
，
同理，RtΔABG
≌
RtΔADE，
∴RtΔCJB
≌
RtΔCFD
≌
RtΔABG
≌
RtΔADE
∴∠ABG
=
∠BCJ,
∵∠BCJ
+∠CBJ=
90°,
∴∠ABG
+∠CBJ=
90°,
∵∠ABC=
90°,
∴G,B,I,J在同一直线上，
【证法4】（欧几里得证明）
　
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD.
过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点L.
∵
AF
=
AC，AB
=
AD，
∠FAB
=
∠GAD，
∴
ΔFAB
≌
ΔGAD，
∵
ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴
矩形ADLM的面积
=.
同理可证，矩形MLEB的面积
=.
∵
正方形ADEB的面积
=
矩形ADLM的面积
+
矩形MLEB的面积
∴
，即
a^2+b^2=c^2

Answer 5

这是青朱出如图

可以证明c方=a方+b方