Question

高一 数学 求取值范围 请详细解答,谢谢! (10 19:15:40)

1.若函数f(x)=ax^2-(a-1)x+5在区间(1/2,1)上是增函数,求实数a呁取值范围.
2.判断函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(1,-1)上的単调性,并给出证明

Answer 1

1,
f(x)=ax²-(a-1)x+5
若a=0,f(x)=x+5,恒单调递增,符合题意
若a不等于0,对称轴x=(a-1)/2a
若a>0,函数开口向上,画出图像,很易得知1/2>=(a-1)/2a,解得a>0
若a<0,函数开口向下,同理画出图像,观察得1<=(a-1)/2a,解得a>=-1,所以-1<=a<0
综上,a>=-1
2,
楼主区间表示的不对哦,应该是(-1,1)
f(-x)=-f(x),所以该函数是奇函数,要证明f(x)在(-1,1)上的单调性,只需证明f(x)在[0,1)上的单调性
任取x1,x2,且0<=x1<x2<1,
△y=f(x2)-f(x1)=x2/(x2²-1)-x1/(x1²-1)
=[x2(x1²-1)-x1(x2²-1)]/(x1²-1)(x2²-1)
=[x1x2(x1-x2)+x1-x2]/(x1²-1)(x2²-1)
=(x1x2+1)(x1-x2)/(x1²-1)(x2²-1)
∵0<=x1<x2<1,0<=x1²<1,0<x2²<1,-1<=x1²-1<0,-1<x2²-1<0,∴(x1²-1)(x2²-1)>0,0<=x1x2<1,1<=1+x1x2<2,x1-x2<0
∴△y<0,∴f(x2)<f(x1),∴函数f(x)在(-1,1)上恒单调递减

Answer 2

若函数f(x)=ax平方-(a-1)x+5在区间(1/2,1)上是增函数,求实数a的取值范围.

提问时间：2007-09-19 12:49:45 评论 ┆ 举报

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级别：一级教员

2007-09-19 17:19:09
来自：山东省临沂市 提示：
(1).
a=0时，y=x+5,在（1/2,1)上是增函数；

(2).
a>0时，要求抛物线对称轴在1/2左边：
(a-1)/2a≤1/2, a-1≤a, 对所有a>0成立；

(3).
a<0时，要求抛物线对称轴在1右左边：
(a-1)/2a≥1，a-1≤2a.a≥-1.

实数a的取值范围是a≥-1.

f(x)＝x/(x^2-1)＝1/2×[1/(x-1)＋1/(x+1)]

函数y＝1/x在(－∞,0)∪(0,+∞)内单调减少，

所以1/(x-1)，1/(x+1)在(-1,1)内单调减少，

所以函数f(x)在(-1,1)内单调减少

由定义也可以：
解：函数f (x)=x/x^2-1在区间（-1，1）上单调递减。
证明：设-1＜a＜b＜1
f(a)-f(b)=a/(a^2-1)-b/(b^2-1)
=(ab^2-a-ba^2+b)/(a^2-1)(b^2-1)
=(ab+1)(b-a)/(a^2-1)(b^2-1)
∵-1＜x＜1∴ ab+1＞0 a^2-1＜0 b-a＜0
∴ (ab+1)(b-a)＞0 (a^2-1)(b^2-1)
＞0
∴f(a)＞f(b) ∵a＜b
∴ 函数f (x)=x/x^2-1在区间（-1，1）上单调递减。

Answer 3

1.a>0时需要（a-1）/2a<1/2 恒成立
a=0时候是一次函数x+5 在定义域中单调递增 成立
当a<0时候 x=（a-1）/2a 左面单调增 右面单调减

x=（a-1）/2a >1 -1 <x <0
所以x取值范围是-1 <x 《0

2.f(x)=x/(x^2-1)=1/(x-1/x)

Answer 4

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