Question

如图所示，在三角形ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN//BC.设MN交角BCA的平

如图所示，在三角形ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN//BC.设MN交角BCA的平分线于点E，交角BCA的外角平分线于点F.
（1）求证：EO=FO
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论

Answer 1

证明一：

由已知条件知道角6=角9；角7=角8.
所以角6+角7=1/2（角6+7+8+9）=90度。
换句话说，CE垂直CF。

MN平行BC，所以角8=角CEN
所以角CEN=角7.OE=OC。
同理，角6=角COF，OF=OC。
所以OE=OF。
第一问得证。（一般大题的第一问都是为后面准备的）

证明2：
O点运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形。
由第一问知道EO=OF（条件一）
角10=角EOC（条件二）
AO=OC（条件三）
由条件一二三（边角边定理）知道三角形COE全等三角形AOF。
所以角2=角7，所以AF平行CE。
又由全等得知AF＝CE，所以四边形CEAF是平行四边形。
　　又由第一问证明得知角ECF是直角，
所以四边形AECF是矩形。
　　命题得证。