Question

对任意整数abc,证明,(a²+2﹚(b²+2)(c²+2)≥9﹙ab+bc+ca﹚

Answer 1

给出以下2种证法：
(a²-1)(b²-1)>=0 或 (b²-1)(c²-1)>=0 或 (c²-1)(a²-1)>=0至少有一个成立,不妨为第一个
即a>=1且b>=1
由 (a²-1)(b²-1)>=0得
(a²+2)(b²+2)
>=3(a²+b²+1)
原式左
>=3(a²+b²+1)(c²+1+1)
>=3(a+b+c)²
>=9(ab+bc+ca)

(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-3(a+b+c)^2
=(a^2+2)(bc-1)^2+(a^2+2)(b-c)^2/2+3(2-ab-ac)^2/2>=0
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>=3(a+b+c)^2≥9(ab+bc+ca)

Answer 2

a^2
b^2
c^2-2(ab
bc
ac)=a(a-b-c)
b(b-c-a)
c(c-a-b)
因为
是
三角形三边
a-b-c＜0
同理
即
三个负数相加
原式＜0
命题得证