Question

阅读下列材料：1×2=13（1×2×3-0×1×2）2×3=13（2×3×4-1×2×3）3×4=13（3×4×5-2×3×4）由以上

阅读下列材料：1×2=13（1×2×3-0×1×2）2×3=13（2×3×4-1×2×3）3×4=13（3×4×5-2×3×4）由以上三个等式相加，可得1×2+2×3+3×4=13×3×4×5=20读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（仿照以上材料，写出解答过程）（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=______ （填上结果即可）（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=______ （填上结果即可）

Answer 1

（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11，
=

1

3

×（1×2×3-0×1×2）+

1

3

×（2×3×4-1×2×3）+

1

3

×（3×4×5-2×3×4）+…+

1

3

×（10×11×12-9×10×11），
=

1

3

×（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+10×11×12-9×10×11），
=

1

3

×10×11×12，
=440；

（2）∵1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5，
∴1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）；

（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

（n+1）（n+2）（n+3）．

Answer 2

（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11，
=

1

3

×（1×2×3-0×1×2）+

1

3

×（2×3×4-1×2×3）+

1

3

×（3×4×5-2×3×4）+…+

1

3

×（10×11×12-9×10×11），
=

1

3

×（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+10×11×12-9×10×11），
=

1

3

×10×11×12，
=440；

（2）∵1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5，
∴1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）；

（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

（n+1）（n+2）（n+3）．