Question

阅读下列材料：1×2= 1 3 （1×2×3-0×1×2），2×3= 1 3 （2×3×4-1×2×3），

阅读下列材料：1×2= 1 3 （1×2×3-0×1×2），2×3= 1 3 （2×3×4-1×2×3），3×4= 1 3 （3×4×5-2×3×4），由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4= 1 3 ×3×4×5=20．读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=______；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=______．

Answer 1

1×2= 1 3 （1×2×3-0×1×2）； 2×3= 1 3 （2×3×4-1×2×3）； 3×4= 1 3 （3×4×5-2×3×4）； … 10×11= 1 3 （10×11×12-9×10×11）； … n×（n+1）= 1 3 [n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]． （1）1×2+2×3+3×4+…+10×11 = 1 3 （1×2×3-0×1×2）+ 1 3 （2×3×4-1×2×3）+ 1 3 （3×4×5-2×3×4）+…+ 1 3 （10×11×12-9×10×11） = 1 3 （10×11×12）=440； （2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1） = 1 3 （1×2×3-0×1×2）+ 1 3 （2×3×4-1×2×3）+ 1 3 （3×4×5-2×3×4）+…+ 1 3 [n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]= 1 3 [n×（n+1）×（n+2）]； （3）1×2×3= 1 4 （1×2×3×4-0×1×2×3）； 2×3×4= 1 4 （2×3×4×5-1×2×3×4）； 3×4×5= 1 4 （3×4×5×6-2×3×4×5）； … 7×8×9= 1 4 （7×8×9×10-6×7×8×9）； ∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9 = 1 4 （1×2×3×4-0×1×2×3）+ 1 4 （2×3×4×5-1×2×3×4）+ 1 4 （3×4×5×6-2×3×4×5）+…+ 1 4 （7×8×9×10-6×7×8×9）； = 1 4 （7×8×9×10）=1260．