Question

已知函数f（x）=1- 1 x （x＞0），若存在实数a，b（a＜b），使y=f（x）的定义域为（a，b）时

已知函数f（x）=1- 1 x （x＞0），若存在实数a，b（a＜b），使y=f（x）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），则实数m的取值范围是______．

Answer 1

由题意，设0＜x 1 ＜x 2 ，则f（x 1 ）-f（x 2 ） =（1- 1 x 1 ）-（1- 1 x 2 ）= 1 x 2 - 1 x 1 = x 1 - x 2 x 1 x 2 ＜0，故函数f（x）=1- 1 x （x＞0）单调递增， 若存在实数a，b（a＜b），使y=f（x）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb）， 则 f(a)=ma f(b)=mb ，即 1- 1 a =ma 1- 1 b =mb ，解得 m= 1 ab 1 a + 1 b =1 ， 由基本不等式可得1= 1 a + 1 b ≥ 2 1 a ? 1 b ，解 ab ＞2，（a＜b取不到等号），故m= 1 ab ∈（0， 1 4 ） 故答案为： m∈(0， 1 4 )