Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+2x．（1）求f（0）值；（2）求此函数在R上的解析

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+2x．（1）求f（0）值；（2）求此函数在R上的解析式；（3）若对任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（k-2t2）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）因为f（x）为R上奇函数，所以f（0）=0．
（2）设x＜0，则-x＞0，
则f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x=-f（x），
∴x＜0时，f（x）=-x²+2x，
∴f(x)＝

x2+2x，x≥0 ?x2+2x，x＜0

．
（3）∵f（x）=x²+2x在（0，+∞）上为增函数，
且f（0）=0，f（x）为R上奇函数
∴f（x）在R上为增函数，
∴原不等式可变形为：t²-2t＜2t²-k，
对任意t∈R恒成立，
∴k＜（t²-2t）_min=-1
即实数k的取值范围为（-∞，-1）