Question

在三角形ABC中,A.B.C所对的边分别为a.b.c,且满足a等于3bcosc,求tanC除tan

在三角形ABC中,A.B.C所对的边分别为a.b.c,且满足a等于3bcosc,求tanC除tanB的

Answer 1

由余弦定理，cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac cosc=
(a^2+b^2-c^2)/2ab
代入(2a+c)cosb+bcosc=0得，
(2a+c)*(a^2+c^2-b^2)/2ac +b*(a^2+b^2-c^2)/2ab=0
两边同乘以2ac得，
(2a+c)*(a^2+c^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)=0
展开得，2a^3+2ac^2-2ab^2+c*a^2+c^3-c*b^2+c*a^2+c*b^2-c^3=0
2a^3+2ac^2-2ab^2+2c*a^2=0
2a(a^2+c^2-b^2+ac)=0
由于a大于0，两边同除以2a得，a^2+c^2-b^2+ac=0
a^2+c^2-b^2=
-ac
两边同除以2ac得，cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac=
-ac/2ac=
-1/2
于是b=120度

Answer 2

解：
a=3bcosC
由正弦定理得：sinA=3sinBcosC
sin(B+C)=3sinBcosC
sinBcosC+cosBsinC=3sinBcosC
cosBsinC=2sinBcosC
sinB、sinC恒>0，又三角形至多有一个直角或钝角，因此只有cosB>0，cosC>0
等式两边同除以cosBcosC
tanC=2tanB
tanC/tanB=2