Question

求解一道微分方程

求一个一般解和一个特殊解

Answer 1

Answer 2

y=（x+1）y'+y'²
y'²+(x+1)y'-y=0
y=0是一解；
应该有y=kx+b型的解：

y'=k
k²+k（x+1）-kx-b=0
k²+k-b=0
b=k²+k
y=kx+k²+k
y还可以有二次函数形式的解：
y=ax²+bx+c，y'=2ax+b,代入之后每一项都是二次，选择适当系数，可以有成立的恒等式
0=（2ax+b）²+（x+1）（2ax+b）-ax²-bx-c
=4a²x²+4abx+b²+2ax²+bx+2ax+b-ax²-bx-c
=（4a²+a）x²+（4ab+2a）x+（b²+b-c）=0
4a²+a=0
4ab+2a=0
b²+b-c=0
a=0，c=b²+b，y=bx+b²+b，就是前面求的1次解；
a=-1/4，b=-1/2，c=1/4-1/2=-1/4
y=（-1/4）x²+（-1/2）x+（-1/4）
=（-1/4）（x²+2x+1）
没有3次以上多项式解。