Question

已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲

Answer 1

∵中心在原点、焦点在x轴上的椭圆c1与双曲线c2有共同的焦点，
设左右焦点分别为f1，f2，p是c1与c2在第一象限的交点，
△pf1f2是以pf1为底边的等腰三角形，
∴设椭圆和双曲线的长轴长分别为2a1，2a2，焦距为2c，
设|pf1|=x，|pf2|=|f1f2|=y，
由题意得
x+y＝2a1
x?y＝2a2
2c＝y
，
∵椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，
∴e1?e2=
c
a1
?
c
a2
=
y2
x2?y2
=
1
(
x
y
)2?1
，
由三角形三边关系得|f1f2|+|pf2|＞|pf1|＞|pf2|，
即2y＞x＞y，得到1＜
x
y
＜2，
∴1＜（
x
y
）2＜4，∴0＜（
x
y
）2-1＜3，
根据复合函数单调性得到e1?e2=
1
(
x
y
)2?1
＞
1
3
．
故选：c．