设函数f(x)在上[0,a]连续,在(0,a)内可导,且f(a)=0,证明:在(0,a)中至少存在一点ξ, 使3f(ξ)+ξf'(x)=0
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设
g(x)=f(x)*x^3
则有：g'(x)=f(x)*3*x^2+f'(x)*x^3
因为：g(0)=g(a)=0
根据中值定理，在(0,a)中存在ξ使得g'(ξ)=0
即：f(ξ)*3*ξ^2+f'(ξ)*ξ^3=0
所以：f(ξ)*3+f'(ξ)*ξ=0
g(x)=f(x)*x^3
则有：g'(x)=f(x)*3*x^2+f'(x)*x^3
因为：g(0)=g(a)=0
根据中值定理，在(0,a)中存在ξ使得g'(ξ)=0
即：f(ξ)*3*ξ^2+f'(ξ)*ξ^3=0
所以：f(ξ)*3+f'(ξ)*ξ=0
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