Question

高数导数的应用

Answer 1

我们通过对近几年全国各省市的高考数学试卷进行纵向好横向的分析，会发现导数相关的知识内容已经成为高考数学的常考热点，其运用非常广泛。自从导数被引进高中数学教材之后，帮助大家开阔了数学视野，为我们提供了更多的解题思路。如在解决函数问题、不等式问题、解析几何等相关问题的时候，给教师的教学和学生的学习，提供了新的视角、新的方法，为命题老师拓宽了高考的命题空间。
近几年的高考数学试题，事实上已经在逐步加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大。如在函数的单调性，函数的最值，切线方程及不等式等问题上，通过运用导数相关知识定理进行解决，有利于考查学生的综合实践能力。

虽然大家都知道导数相当重要，但也暴露出很多问题：

1、导数的几何意义理解不完整，极值、极值点、取得极值时的点概念混淆，取得极值的条件不清楚；

2、公式理解不深刻，运算性质记忆不牢，导函数及其图像的性质掌握不透彻；

3、导数的最基本应用能力不足，导数的知识迁移能力差，与导数的应用相关的解题思想方法不熟悉，对导数的应用存在恐惧心理。


导数有关的高考试题分析，讲解1：

已知函数f（x）=﹣x2+4x+a（a＞0）的图象与直线x=0，x=3及y=x所围成的平面图形的面积不小于21/2，则曲线g（x）=ax﹣4ln（ax+1）在点（1，g（1））处的切线斜率的最小值为．


考点分析：

利用导数研究曲线上某点切线方程．

题干分析：

当x∈[0，3]时，y=f（x）的图象在直线y=x的上方，则围成的平面图形的面积，运用定积分运算可得9/2+3a，再由条件可得a的范围，求得g（x）的导数，可得切线的斜率，令t=a+1（t≥3），则h（t）=t+4/t﹣5，求出导数，判断单调性可得最小值．


近几年来的高考数学，导数与函数有关的问题都会与字母系数问题联系在一起，很多考生总觉得难以入手。

导数有关的高考试题分析，讲解2：

已知函数f（x）=aex/x2（a≠0）．

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣2/x﹣lnx，若g（x）在区间（0，2）上有两个极值点，求实数a的取值范围．



考点分析：

利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

题干分析：

（Ⅰ）将a=1代入f（x），求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）求出g（x）的导数，问题转化为即y=ex和y=x/a在（0，2）有2个交点，画出函数的图象，结合图象求出a的范围即可．


导数在高中数学中占有重要的地位，是研究函数的单调性、变化率以及最值等问题最常用和最有效的工具，也是进一步学习高等数学的基础。

因此，无论是为了高考，还是为将来的学习做好准备，探究考生在学习导数中过程中存在的问题，寻找有效的教学策略，对于促进导数的教与学具有积极的现实意义。

考生会在导数这一块产生失分主要原因有:

1、数学的阅读理解能力差；

2、概念的理解不透彻；

3、公式记忆以及运算求解能力差；

4、基础知识掌握不到位；

5、心理素质不过关；

6、缺乏基本的解题思想和方法。

导数有关的高考试题分析，讲解3：

已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．

（Ⅰ）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；

（Ⅲ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2．




考点分析：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

题干分析：

（Ⅰ）代入a值，求出导函数，利用导函数的概念求出切线方程；

（Ⅱ）求出导函数，对参数a进行分类讨论，得出导函数的正负，判断原函数的单调性；

（Ⅲ）整理不等式得ex﹣lnx﹣2＞0，构造函数h（x）=ex﹣lnx﹣2，通过特殊值，知存在唯一实根x0，得出函数的最小值．

通过对试题的研究，要想学好导数，就需要积极培养阅读能力和建模能力；学会从多角度多途径加强对导数概念的阐述；探讨数学公式记忆方法，加强运算能力的培养；内容讲解注意前后衔接；培养对数学思想方法的理解，提高学习导数的兴趣；加强对数学素养的培养。

Answer 2

导数（Derivative）是微积分学中重要的基础概念，是函数的局部性质。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。 不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

Answer 3

导数单独应用的话，最多的就是用定义：求斜率
延伸：求切线，求极限，求变化率（速度，加速度）等