求y'+ytanx=cosx的通解 20
如图,为什么解答里前面的tanx积分出来绝对值没有了,后面的还有?∫(cosx・1/|cosx|)dx这里的绝对值要怎么处理?...
如图,为什么解答里前面的tanx积分出来绝对值没有了,后面的还有?∫(cosx・1/|cosx|)dx这里的绝对值要怎么处理?
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2024-10-23 广告
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此题的解答里跳步跳得厉害。
首先,y'+ytanx=cosx是一个线性微分方程(回忆线性微分方程的形式是dy/dx = P(x)*y + Q(x)),所以可以相应解答。在这道题目中,Q(x)=cos x,所以应该有
y = C(x) * e^∫(-tan x)dx (1)
其中C(x)满足
dC/dx * e^∫(-tan x) dx = cos x (2)
从(2)式中可以通过直接积分得到C:
C(x) = ∫[cos x * (e^∫tan x dx)] dx (3)(此处用到了∫(-tan x) dx = -∫tan x dx)
从(1)(3)就能得到解了。
另外,应该这么看绝对值的事:积分∫tan x dx = ∫(sin x / cos x)dx = -∫d(cos x) / cos x = - ln | cos x| + 常数,所以e^∫(-tan x)dx = 常数 * |cos x|,e^∫tan x dx = 常数 / |cos x|,这里都带着绝对值以保证对数函数的自变量为正,但在C(x)里,由于e^∫tan x dx需要乘以cos x后再积分才能得到C(x),这样有没有绝对值符号都只差一个符号,都是一个常数,所以就归入最终解答里的C了;但最终解答中括号外的e^(-∫tan x dx)所得的|cos x|中的绝对值符号却不能动,因为没有什么可动的(如果是C1(x + C2)|cos x|,即还有另一个常数,那么这里的绝对值就完全可以省掉)。
首先,y'+ytanx=cosx是一个线性微分方程(回忆线性微分方程的形式是dy/dx = P(x)*y + Q(x)),所以可以相应解答。在这道题目中,Q(x)=cos x,所以应该有
y = C(x) * e^∫(-tan x)dx (1)
其中C(x)满足
dC/dx * e^∫(-tan x) dx = cos x (2)
从(2)式中可以通过直接积分得到C:
C(x) = ∫[cos x * (e^∫tan x dx)] dx (3)(此处用到了∫(-tan x) dx = -∫tan x dx)
从(1)(3)就能得到解了。
另外,应该这么看绝对值的事:积分∫tan x dx = ∫(sin x / cos x)dx = -∫d(cos x) / cos x = - ln | cos x| + 常数,所以e^∫(-tan x)dx = 常数 * |cos x|,e^∫tan x dx = 常数 / |cos x|,这里都带着绝对值以保证对数函数的自变量为正,但在C(x)里,由于e^∫tan x dx需要乘以cos x后再积分才能得到C(x),这样有没有绝对值符号都只差一个符号,都是一个常数,所以就归入最终解答里的C了;但最终解答中括号外的e^(-∫tan x dx)所得的|cos x|中的绝对值符号却不能动,因为没有什么可动的(如果是C1(x + C2)|cos x|,即还有另一个常数,那么这里的绝对值就完全可以省掉)。
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对于这个微分方程,还可以这样解:
先解特征方程:
y' + y * tanx = 0
y' = dy/dx = -y * tanx
可以得到:
dy/y = - sinx/cosx * dx = d(cosx)/cosx
方程两边同时积分,得到:
lny = ln(cosx)
则:
y = Y * cosx
再把 Y 作为 x 的函数,那么可以得到:
y' = Y' * cosx - Y * sinx
把这个结果代入原积分方程:
Y' * cosx - Y * sinx + Y * cosx * tanx = Y' * cosx = cosx
所以,Y' = 1 = dY/dx
那么,Y = x + C
因此,y = Y * cosx = x * cosx + C * cosx
先解特征方程:
y' + y * tanx = 0
y' = dy/dx = -y * tanx
可以得到:
dy/y = - sinx/cosx * dx = d(cosx)/cosx
方程两边同时积分,得到:
lny = ln(cosx)
则:
y = Y * cosx
再把 Y 作为 x 的函数,那么可以得到:
y' = Y' * cosx - Y * sinx
把这个结果代入原积分方程:
Y' * cosx - Y * sinx + Y * cosx * tanx = Y' * cosx = cosx
所以,Y' = 1 = dY/dx
那么,Y = x + C
因此,y = Y * cosx = x * cosx + C * cosx
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求解微分方程的过程中的积分, ∫tanxdx = ∫sinxdx/cosx = -lncosx,
不必写为 -ln|cosx|。
若是最后的结果积分, 且不代换掉对数函数,则写为带绝对值符号的。
y'+ytanx = cosx 是一阶线性微分方程, 通解是
y = e^(-∫tanxdx) [∫cosxe^(∫tanxdx)dx + C]
= e^(lncosx) [∫cosxe^(lncosx)dx + C]
= cosx(∫dx + C) = (x+C)cosx
不必写为 -ln|cosx|。
若是最后的结果积分, 且不代换掉对数函数,则写为带绝对值符号的。
y'+ytanx = cosx 是一阶线性微分方程, 通解是
y = e^(-∫tanxdx) [∫cosxe^(∫tanxdx)dx + C]
= e^(lncosx) [∫cosxe^(lncosx)dx + C]
= cosx(∫dx + C) = (x+C)cosx
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2022-02-15
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· 微分方程y'+ytanx=cosx的通解为 - : |微分方程y'+ytanx=cosx的通解为y=(x+C)cosx.C为常数.先求齐次方程y'=-y tanx dy/y=-tanx dx=-sinx/cosx dx=d(cosx)/cosx 即ln|y|=ln|cosx|+ln|C| 得y=C cosx 由常数变易法,令y=C(x) cosx y'=C'(x)cosx-C(x)sinx 带入
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