Question

高数数列极限证明问题

1.
若An>0
且lim(An+1/An)=r<1
证：lim An=0

2.
若{An}单调增加，{Bn}单调减小，lim(Bn-An)=0
证明：{An}{Bn}都收敛，且lim An = lim Bn
第一题 为什么An+1/An<1/2？

没学无穷级数的知识。。。。

Answer 1

第一题用无穷级数的知识很容易征得……

设有级数∑An(n从1到无穷),An>0,所以级数是正项级数

又limAn+1/An=<1

由比值判别法可知该级数收敛，由级数收敛必要条件可知，limAn=0

无穷级数是高数下最后一章，我知道你们目前没学，不过还是想说一下这种方法而已，呵呵

Answer 2

2.因为lim(Bn-An)=0，故{Bn-An}有界，Bn-An≥M（M为下界），Bn≥An+M>A1+M,所以，{Bn}单调减小且有下界，{Bn}存在极限，设lim Bn =a，则lim An =lim(An-Bn+Bn)=-lim(Bn-An)+limBn=a,lim An = lim Bn

Answer 3

1.利用定义.存在N.当n>N时An+1/An<1/2,所以An/AN<(1/2)的n-N次方，即An<AN*(1/2)的n-N次方，n趋向无穷时An趋向零，2.