Question

初二几何难题 高手进

ABCD为矩形，BC为对角线，在BC上取一点M，连接MD，在CD上取一点N，连接MN，求MN+DN最小值（任意取点，其中BD=10 CD=20
哥们 是让你求MN+MD 不是求DN!!!

Answer 1

作D关于BC的对称点D'，过D'作D'N⊥CD交BC于M

为证明此时MN+DM最短，不妨在BC和CD分别取异于M,N的两点M'，N'，连接D'M',M'N',D'N'
在△D'M'N'中,D'M'+M'N＞D'N'＞D'N=D'M+MN=DM+MN

下面求MN+DM的最小值

设D'D交CB于E，连接CD'
由已知求得D'D=CE=8√5,
在△CD'D中，由面积知
D'N=D'D×CE/CD=16
即MN+DM的最小值为16

Answer 2

设ND为x，则CN=20-x；Rt三角形BCD中可求出斜边BC的长为（十根号五），再设MB=y,则CM=（十根号五）-y,利用两边之和大于第三边排出以下等式：
三角形MND中，MN+MD>x
三角形BDM中，y+10>MD
三角形CMN中,(20-x)+(十根号五-y)>MN
所以（y+10）+[(20-x)+(十根号五-y)]>x
y正好消去，就可以得出x的范围了