Question

已知函数f(x)=-1/4x^4+2/3x^3+ax^2-2x-2在区间[-1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，a=1/2

(1)若关于f(2^x)=m有三个不同的实数解，求m的取值范围。
(2)若函数y=log2[f(x)+p]的图像与x轴无交点，求实数P的取值范围

Answer 1

f’(x)=-x^3+2x^2+2ax-2依题意，f(x) 在区间[-1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以f(x)在x=1处有极值，即f’(1)= -1+2+2a-2=0，解出a=1/2，所以f(x)=-(1/4)x^4+(2/3)x^3+(1/2)x^2-2x-2f’(x)= -x^3+2x^2+x-21、令t=2^x，很明显t>0且知t=2^x为增函数，每个x对应一个t，而由题意：f(2^x)=m有三个不同的实数解，就是说，方程f(t)=m的每三个t对应一个m，换言之：关于t的方程f(t)=m在t>0时有三个不同的实数解。f’(t)= -t^3+2t^2+t-2= -(t+1)(t-1)(t-2)令f’(t)≥0以求f(t)的增区间，得-(t+1)(t-1)(t-2)≥0，保证t>0，求得f(t)的增区间为1≤t≤2令f’(t) ≤0以求f(t)的减区间，得-(t+1)(t-1)(t-2)≤0，保证t>0，求得f(t)的减区间为0<t≤1或t≥2所以f(t)在t= 1时有极小值，极小值为f(1)= -37/12，在t= 2时有极大值，极大值为f(2)= -8/3，在t趋向于0时，f(t)趋向于-2。-37/12<-8/3<-2f(t)在t>0上的图像为双峰形的一半，作出f(t)的图像，标出极值，可看出，要使f(t)=m有三个不同的实数解，须-37/12<m<-8/32、f(x)+p作真数，必须保证f(x)+p>0，要使函数y=log2[f(x)+p]的图像与x轴无交点，只有f(x)+p≠1，由前面的计算已经可以得出f(x)的最大值为f(-1)=-5/12，即f(x)≤-5/12所以f(x)+p≤p-5/12，要使f(x)+p≠1，只有p-5/12<1，才能满足题意，解之得，p<17/12